%----------------- TEXT -----------------
\subsection*{1.16. French}

Soient $V$ un fibré vectoriel sur $D$, et $\nabla$ une connexion sur $V|_{D^*}$, méromorphe en $0$. Si $(e_i)_{i=1,2}$ sont deux bases de $V$, dans lesquelles $\nabla$ est représenté par $\Gamma_1 \in \Omega^1(\mathrm{End}(V|_{D^*}))$, la différence $\Gamma_1 - \Gamma_2$ est holomorphe en $0$. La partie polaire de $\Gamma$ ne dépend donc pas du choix de $e$.

Supposons que $\Gamma$ ne présente qu'un pôle simple en $0$, donc ait pour "partie polaire" un élément $\gamma$ dans
\[
H^0\left(\frac{1}{z}\Omega^1/\Omega^1\right) \otimes \mathrm{End}(V)).
\]

L'application "résidu" : $H^0\left(\frac{1}{z}\Omega^1/\Omega^1\right) \longrightarrow \mathfrak{e}$ associe alors à $\gamma$ un endomorphisme de la fibre $V_0$ de $V$ en $0$. On appelle cet endomorphisme le \textbf{résidu} $\mathrm{Res}(\Gamma)$ de la connexion en $0$,
\[
\mathrm{Res}(\Gamma) \in \mathrm{End}(V_0).
\]

%----------------- TRANSLATION -----------------
\newpage 

\subsection*{1.16. English}

Let $V$ be a vector bundle over $D$, and let $\nabla$ be a connection on $V _{D^*}$, meromorphic at $0$. If $(e_i)_{i=1,2}$ are two bases of $V$, in which $\nabla$ is represented by matrices $\Gamma_1, \Gamma_2 \in \Omega^1(\mathrm{End}(V _{D^*}))$, then the difference $\Gamma_1 - \Gamma_2$ is holomorphic at $0$. Hence the polar part of $\Gamma$ is independent of the choice of basis $e$.

Assume that $\Gamma$ has only a simple pole at $0$, so that its "polar part" is an element $\gamma$ in
\[
H^0\left(\frac{1}{z}\Omega^1/\Omega^1\right) \otimes \mathrm{End}(V).
\]

The residue map
\[
\text{``residue''}: H^0\left(\frac{1}{z}\Omega^1/\Omega^1\right) \longrightarrow \mathfrak{e}
\]
then assigns to $\gamma$ an endomorphism of the fiber $V_0$ of $V$ at $0$. This endomorphism is called the \textbf{residue} $\mathrm{Res}(\Gamma)$ of the connection at $0$,
\[
\mathrm{Res}(\Gamma) \in \mathrm{End}(V_0).
\]
